Эзер Вейцман родился в Тель-Авиве, в семье уроженца Пинска, агротехника Йехиэля Вейцмана (1892-1957), младшего брата первого президента Израиля Хаима Вейцмана. В 16 лет вступил в летный клуб, а затем в Хагану на курс младших командиров, учился в авиашколе «Авирон» – единственной летной школе еврейского ишува и через два года, в 1942 году, получил удостоверение летчика за номером 98. Восемнадцатилетним юношей пошел служить в Британские королевские ВВС, сражался в Индии и Египте. После демобилизации вступил в подпольную организацию Эцель, состоял в ее рядах в 1946-1948 годах, участвовал в операциях. 10 ноября 1947 года в еще нелегальной еврейской армии появилась Воздушная служба (Шерут авир), которая вскоре стала израильскими ВВС. Вейцман сразу же присоединился к ней. В ходе Войны за независимость на немногих транспортных самолетах, имевшихся в распоряжении этих ВВС, переправлял по воздуху боеприпасы и снабжение в Негев и в Гуш-Эцион.
В 1948 году правительство Чехословакии с одобрения Советского Союза начало поставлять Израилю оружие. В апреле 1948 года стало известно, что компания «Шкода» готова продать 25 истребителей Avia S-19 – чешскую послевоенную модификацию немецкого истребителя Мессершмитт Bf. 109. Вейцмана отправили в Чехословакию, где он быстро научился летать на таком истребителе и доставил один из них в Израиль. Спустя короткое время все 25 закупленных в Чехословакии истребителей приняли активное участие в воздушных боях и стали основой ВВС Израиля. Вскоре Эзер решил стать профессиональным военным летчиком. 
Карьера его была стремительной, в 1958 году он уже был командующим ВВС Израиля и прослужил на этом посту восемь лет. В 1966-1969 годах занимал должности главы операционного отдела ЦАХАЛа и заместителя главы генштаба.
В 1969 году Вейцман демобилизовался из армии и занялся политикой. В том же году был назначен министром транспорта от ГАХАЛ (Блок «Херут–Либералы»). В 1971-1972 годах являлся председателем руководства движения Херут. Избрался в Кнессет в 1977 году, на этих выборах был ответственным за избирательную компанию Ликуда. Стал министром обороны в первом правительстве Менахема Бегина, играл важную роль в процессе мирного урегулирования с Египтом. В период его пребывания на этой должности ЦАХАЛ в марте 1978 года осуществил операцию «Литани» против террористических баз ООП на юге Ливана.
В этот период произошли значительные изменения во взглядах Вейцмана, которые резко сдвинулись влево. В мае 1980 года он подал в отставку из правительства и до 1984 года политикой не занимался. В марте 1984 года он основал новую партию – Яхад, которая на выборах в Кнессет получила три мандата и присоединилась к блоку во главе с партией Маарах, сформировавшей правительство национального единства. В правительстве Шимона Переса он получил должность министра без портфеля и входил в узкий кабинет. В январе 1985 года был назначен координатором по арабскому вопросу. В октябре 1986 года Вейцман вместе с Яхад присоединился к партии Авода. В правительстве национального единства, созданном Ицхаком Шамиром в 1988 году, был министром науки и технологии. В конце 1989 года Шамир пригрозил Вейцману увольнением после того, как тот установил контакты с членами Организации освобождения Палестины. После распада правительственной коалиции в 1992 году ушел из политики и уволился из Кнессета.
Министр обороны Шимон Перес передает полномочия новому министру Эзеру Вейцману. Тель-Авив, 1977.
В 1993 году Вейцман был избран президентом государства. Во время первой каденции его часто критиковали за причастность к политике, резкие высказывания и за очень редкое использование права досрочного помилования заключенных. В период частых терактов, последовавших за соглашениями в Осло он призывал замедлить переговоры с палестинцами. Однако после создания правительства во главе с Биньямином Нетанияху в июне 1996 года предпринял усилия по их активизации и даже пригласил Ясира Арафата с частным визитом в свой дом в Кейсарии. Несмотря на критику, в марте 1998 года Вейцман был переизбран на второй срок.
Уйдя с поста президента в 2000 году Эзер Вейцман жил на своей вилле в Кейсарии, где и скончался 24 апреля 2005 года. Именем Эзера Вейцмана названы улицы и проспекты в различных городах Израиля.
По свидетельству родственника Эзера Вейцмана, известного израильского писателя Давида Маркиша, тот всю свою жизнь считал себя продолжением алии евреев из России. Хотя он родился в Тель-Авиве и не знал русского языка, вопрос репатриации и репатриантов из СССР был ему близок и важен. Это проявлялось, в частности, и в той помощи, которую он оказывал своему близкому другу Шаулю Авигуру, основателю и многолетнему главе организации «Натив», ответственной за связь с евреями СССР-СНГ и содействие их репатриации в Израиль. Именно Эзеру Вейцману принадлежит знаменитая фраза: «Если бы не алия из СССР, с которой в Израиль прибыли специалисты по самолетостроению и аэронавтике, первый израильский сверхзвуковой истребитель «Лави» никогда не взлетел бы».
В связи с исполняющимся 150-летием со дня рождения дяди Эзера – первого президента Израиля Хаима Вейцмана, организация «Натив» провозгласила этот год в работе своего департамента по культуре и просвещению годом Вейцмана. В память о первом президенте и его семье «Натив» проведет в разных городах СНГ различные мероприятия, а в сотрудничестве с домом-музеем Хаима Вейцмана в Реховоте организует выставку, посвященную его жизни и деятельности. Несколько лет назад «Натив» уже проводил в Минске выставку, посвященную семье Вейцман, несколько поколений которой родились и жили в белорусском местечке Мотоль, неподалеку от Пинска. В этом году «Натив» также планирует провести в Минске, а также в Мотоле праздничные мероприятия, посвященные юбилею.