Езер Вейцман народився в Тель-Авіві в сім’ї уроженця Пінську, агротехніка Єхієля Вейцмана (1892-1957), молодшого брата першого президента Ізраїлю Хаїма Вейцмана. У 16 років вступив у льотний клуб, а потім в Хагану на курс молодших командирів, навчався в авіашколі «Авірон» – єдиній льотній школі єврейського ішува, і через два роки, у 1942 році, отримав свідоцтво льотчика під номером 98. Вісімнадцятирічним юнаком пішов служити в Британські Королівські ВПС, брав участь в боях в Індії та Єгипті. Після демобілізації вступив в підпільну організацію Ецель, був її членом у 1946-1948 роках, брав участь в операціях. 10 листопада 1947 року у ще нелегальній єврейській армії з’явилася Повітряна служба (Шерут авир), яка незабаром стала ізраїльськими ВПС. Вейцман одразу приєднався до неї. Під час Війни за незалежність на невеликих транспортних літаках, які були у розпорядженні цих ВПС, переправляв повітрям боєприпаси та забезпечення в Негев та в Гуш-Ецион.
У 1948 році уряд Чехословаччини за підтримки Радянського Союзу почав постачати Ізраїлю зброю. У квітні 1948 року стало відомо, що компанія «Шкода» готова продати 25 винищувачів Avia S-19 – чеську післявоєнну модифікацію німецького винищувача Мессершміт Bf. 109. Вейцмана відправили до Чехословаччини, де він швидко навчився літати на такому винищувачі та доставив один з них в Ізраїль. Через короткий час всі 25 закуплених в Чехословаччині винищувачів взяли активну участь у повітряних боях і стали основою ВПС Ізраїлю. 
Незабаром Езер вирішив стати професійним військовим льотчиком. Його кар’єра була стрімкою, у 1958 році він вже був командиром ВПС Ізраїлю і прослужив на цій посаді вісім років. У 1966-1969 роках займав посади голови оперативного відділу ЦАХАЛу та заступника голови генштабу.
У 1969 році Вейцман демобілізувався з армії і зайнявся політикою. У тому ж році був призначений міністром транспорту від ГАХАЛ (Блок «Херут–Ліберали»). У 1971-1972 роках був головою керівництва руху Херут. Обраний до Кнесету в 1977 році, на цих виборах він був відповідальним за виборчу кампанію Лікуда. Став міністром оборони в першому уряді Менахема Бегіна, відіграв важливу роль у процесі мирного врегулювання з Єгиптом. Протягом його перебування на цій посаді ЦАХАЛ у березні 1978 року здійснив операцію «Літані» проти терористичних баз ООП на півдні Лівана.
У цей період відбулися значні зміни в поглядах Вейцмана, які різко зрушили вліво. У травні 1980 року він подав у відставку з уряду і до 1984 року не займався політикою. У березні 1984 року він заснував нову партію – Яхад, яка на виборах до Кнесету отримала три мандати і приєдналася до блоку на чолі з партією Маарах, що сформувала уряд національної єдності. В уряді Шимона Переса він отримав посаду міністра без портфеля і був членом вузького кабінету. У січні 1985 року був призначений координатором з арабського питання. У жовтні 1986 року Вейцман разом з Яхад приєднався до партії Авода. В уряді національної єдності, створеному Іцхаком Шаміром у 1988 році, був міністром науки та технологій. В кінці 1989 року Шамір погрожував Вейцману звільненням після того, як той встановив контакти з членами Організації визволення Палестини. Після розпаду урядової коаліції у 1992 році вийшов з політики та покинув Кнесет.
Міністр оборони Шимон Перес передає повноваження новому міністру Езеру Вейцману. Тель-Авів, 1977.
У 1993 році Вейцман був обраний президентом країни. Під час першого терміну його часто критикували за залученість до політики, різкі висловлювання та за дуже рідке використання права на досрочне помилування засуджених. У період частих терактів, що настали після угод в Осло, він закликав сповільнити переговори з палестинцями. Однак після створення уряду на чолі з Біньяміном Нетаньягу в червні 1996 року зробив зусилля по їх активізації і навіть запросив Ясіра Арафата з приватним візитом до свого будинку в Кейсарії. Незважаючи на критику, у березні 1998 року Вейцман був переобраний на другий термін.
Після відставки з поста президента в 2000 році Езер Вейцман жив у своїй віллі в Кейсарії, де й помер 24 квітня 2005 року. На його честь названі вулиці та проспекти в різних містах Ізраїлю.
За свідченням родича Езера Вейцмана, відомого ізраїльського письменника Давида Маркіша, він все своє життя вважав себе продовженням алії євреїв з Росії. Хоча він народився в Тель-Авіві і не володів російською мовою, питання репатріації та репатріантів з СРСР було йому близьке й важливе. Це проявлялося, зокрема, і в тій допомозі, яку він надавав своєму близькому другові Шаулю Авігуру, засновнику та багаторічному голові організації «Натів», відповідальної за зв’язок з євреями СРСР-СНГ та сприяння їх репатріації в Ізраїль. Саме Езеру Вейцману належить відомий вислів: «Якби не алія з СРСР, з якою в Ізраїль прибули фахівці з літакобудування та авіації, перший ізраїльський суперзвуковий винищувач «Лаві» ніколи не злетів би».
У зв’язку з відзначенням 150-річчя з дня народження дядька Езера – першого президента Ізраїлю Хаїма Вейцмана, організація «Натів» проголосила цей рік у роботі свого відділу культури та просвітництва роком Вейцмана. На пам’ять про першого президента та його родину «Натів» проведе в різних містах СНД різноманітні заходи, а у співпраці з будинком-музеєм Хаїма Вейцмана в Реховот організує виставку, присвячену його життю та діяльності. Кілька років тому «Натів» вже проводив у Мінську виставку, присвячену родині Вейцман, кілька поколінь якої народилися та жили в білоруському містечку Мотоль, неподалік від Пінську. У цьому році «Натів» також планує провести у Мінську, а також у Мотолі святкові заходи, присвячені ювілею.